10个概率法则

出自：《游戏设计的艺术》

在1654年，法国贵族Antoine Gombauld，也就是Chevalier de Méré（读作“Shevulyay duh Mayray”）产生了一个问题。他是一个上了瘾的赌徒，一直和朋友玩着一个投骰子的游戏，在游戏里他总打赌四次投骰里至少能投出一次6。他从这个游戏中赚了很多钱，而他的朋友都厌倦了总是输给他了，都拒绝和他再玩这个游戏了。为了找出一种新的办法再从他的朋友那里敲竹杠，他又发明了一个他以为是和前一个游戏有着相同几率的新游戏。在这个新游戏里，他要打赌当他投出一对骰子24次后，至少能出现一次双6。他的朋友最初都是小心谨慎的，但很快都开始喜欢他的新游戏了，因为Chevalier开始快速输掉他的钱了！他感觉很困惑，因为在他的算法里，两个游戏都是有着同样的几率的。Chevalier的理由是这样的：

第一个游戏：Chevalier对单个骰子投出4次，只要至少出现1次6就赢。

Chevalier认为单个骰子出现6的几率是1/6，因此投出一个骰子四次后意味着获胜的几率是：

4×（1/6）=4/6=66%，这解释了为什么他老是会赢。

第二个游戏：Chevalier把一对骰子投24次，只要至少出现一次双6就赢。

Chevalier确定出用一对骰子得到双6的几率是1/36。于是他认为投出这对骰子24次后意味着几率应该是：

24×（1/36）=24/36=66%，这和前一个游戏有着相同的几率！

由于困惑和不断输钱，于是他写了一封信给数学家布莱士·帕斯卡寻求他的建议。帕斯卡发现这个问题是很有趣的，当时还没有任何确立的数学方法去回答这个问题。于是帕斯卡写了一封信给他父亲的朋友皮耶·德·费马寻求帮助。帕斯卡和费马开始通过漫长的信件联络对这个问题以及类似的问题进行讨论，终于发现了解决这种问题的方法，也确立了概率理论，让它成为数学里的一个新的分支。

那我们回头来看一下，在Chevalier的游戏中真正的几率到底是什么呢？为了理解这点，我们必须先来稍微深入到数学里——别感到害怕和烦躁，这只是任何人都能理解的简单数学。对游戏设计来说不用完全学完概率学（并且那也是超出本书范围了），但了解一些基础原理会是很有帮助的。假如你已经是一个数学天才，那你可以跳过本段，或者至少能沾沾自喜地阅读下去。对于其他的人，接下来我会为大家呈现：

10个概率法则

法则#1：分数和小数都是百分数

假如你是那种老是不太擅长处理分数和百分数的人，如今是时候去面对和处理这些数字了，因为它们是概率学里的语言。不过别太紧张，你总是能用一个计算器的，没有任何人会盯着你看。你需要处理的分数、小数和百分数都是一样的，它们能互相转换来利用起来。换句话说，1/2、0.5、50%这三个都不是不同的数字，它们只是对同一个数字的三种不同写法而已。

把分数转化为小数是很容易的。你想知道33/50的小数形式是什么？你只需要在计算器里输入33÷50就可以得到0.66了。那变成百分数呢？也是很简单的。假如你在字典里查“百分数”这个词，你会看到它真正的意思是“百分之一”。因此66%意味着百分之66，或者说66/100，又或者说0.66。假如你回看前面Chevalier的算法，你就能理解为什么我们需要如此频繁地来来回回转换了——作为人类来说，我们都喜欢用百分数来交谈，不过我们也喜欢用分数的形式来说——因此我们需要在这些形式间转换。假如你是那种谈起数学就焦虑的人，那真的要放松下来，在计算器上多练习几次，不用花很长时间你就能掌握的。

法则#2：概率只会在0到1！

这一点是很容易理解的，概率只会落在0到100%之间，也就是从0到1（参见法则#1），不会比这多，也不会比这少。虽然你可以说某件事发生的几率是10%，但作为10%的几率，那这件事基本上也是完全没有的事了。某件事发生的几率是0%意味着它根本不会发生，而100%意味着它肯定会发生。这些听起来都很明显的，但这也指出了Chevalier的算法中一个主要的问题。回想一下他第一个用4个骰子的游戏。他认为用4个骰子就能有4×(1/6)，也就是66%的几率出现一次6。但如果他有七个骰子又会怎么样呢？那他就有7×(1/6)，也就是1.17，换句话说也就是117%的获胜几率了？！而这种算法肯定是错的——假如你投出一个骰子七次，很可能6会从这么多次里出现，但也不是确保出现的（事实上它的几率大概是72%）。任何时候，只要你算出一个出现的概率是大于100%（或者小于0%）的，你就肯定能知道之前的算法会出了某些问题了。

法则#3：“你希望得到的”除以“可能的结果”等于概率

前两个法则只是为我们奠下一些基础，如今我们要谈谈概率到底是什么了——而这点也是相当简单的。你只要用“你希望得到的”结果会出现的次数，除以可能的结果的总数（假设你做出的结果足够多），那你就得到其中的概率了。那在投出一次骰子出现6的的几率是多少呢？我们来看，可能的结果总共有6种，我们只希望得到其中特定的一种，因此6出现的几率是1÷6，或者说1/6，又或者大概是17%。那投出一次骰子出现偶数的几率又是多少呢？骰子里有3个偶数，因此答案是3/6，或者是50%。那从一堆卡牌里抽出一张人头牌（J、Q、K）的几率会是多少呢？在一副卡牌里总共有12张人头牌，卡牌的总数是52，因此得到一张人头牌的几率是12/52，或者大概是23%。假如你理解了这点，那你就掌握了概率学里最基础的概念了。

法则#4：枚举！

假如一切真的像法则#3说起来那么简单，你可能会纳闷为什么概率会这么复杂。这里的原因在于我们需要的两个数字（“希望得到的结果”以及“可能的结果”的数字）并不总是这么显而易见的。例如，如果我问你翻出一枚硬币3次后得到至少2次“头像”的概率，那你“希望得到的结果”的数字该是多少呢？假如你不用写下任何东西就能回答这个问题会让我感到很吃惊。而找出这个问题的答案的一种简单的办法是枚举出所有可能的结果：

1. 头头头

2. 头头字

3. 头字头

4. 头字字

5. 字头头

6. 字头字

7. 字字头

8. 字字字

最终实际上只有8个可能的结果。那哪些结果里有着至少两个头像呢？无疑是第1、2、3和5这四种情况。也就是在8种可能里面有4个结果，因此答案是4/8，或者说是50%的几率。如今我们来看看，为什么Chevalier不能赢得这个游戏呢？在他第一个游戏里，投的是4次骰子，这意味着有6×6×6×6，也就是1296种可能性。枚举的方法是很方便的，但当它要花太长的时间时，你就需要采取捷径了——而这也是其他法则要达成的目的。

法则#5：在某些情况下，“或”意味着加法

往往我们需要定下“这种情况或者那种情况”发生的几率，例如要求出从一副牌里抽出人头牌或者抽出一张A的概率。当我们需要了解的两种情况是互斥时，也就是这两种情况不可能同时发生时，你可以把它们分别的概率加在一起来得到总的概率。例如抽出一张人头牌的概率是12/52，而抽出一张A的概率是4/52。因为这两种情况是互斥事件（它们是不可能同时发生的），所以我们可以把这两个概率加在一起，也就是12/52+4/52，换句话说是大概31%的概率。但假如我问另一个问题：从一副牌里抽出一张A或者抽出一张方块的几率是多少呢？如果我把这两者的概率加起来，我们会得到4/52+13/52（一副牌有13张方块）=17/52。但只要我们枚举一下就会知道这个结果是错的——正确的答案是16/52。为什么会这样呢？因为这两种情况不是互斥的——我是可以抽出一张方块A的！由于这个例子不是互斥的，因此“或”并不意味着加法。

让我们来看回Chevalier的第一个游戏。他看起来是尝试用这个法则来计算他的投骰结果，把4个概率加在一起：1/6+1/6+1/6+1/6。但他得到的是错误的答案，因为这四个事件不是互斥的。这种加法法则是很好用的，但你必须确定你所加的事件是互斥才行。

法则#6：在某些情况下，“且”意味着乘法

这个法则几乎是和前一个相反的！假如你想找出两件事同时发生的概率，你可以把它们各自的概率乘在一起来得到答案——但前提只能是这两件事是不互斥的！看回前面投两个骰子的情况，假如我们希望找出投到双6的概率，那我们可以把两件事的概率乘在一起：用一个骰子投出6的概率是1/6，再用第二个骰子投出6的概率也是1/6，因此得到双6的概率就是1/6×1/6=1/36。当然你也可以通过枚举来得到这个答案，只不过这是一种更快速的方法。

在法则#5里，我问过从一副牌里抽出一张A或者一张方块的概率是多少——当时前一个法则是无法做到的，因为这两件事不是互斥的。那假如我问你抽出一张A，且是一张方块的概率是多少，那又该怎么回答呢？换句话来说，也就是抽出一张方块A的概率该是多少呢？从直觉上我们能很快地肯定答案是1/52，但我们可以来检验一下法则#6，因为我们知道这两件事不是互斥的。得到一张A的概率是4/52，而得到一张方块的概率是13/52。

简单的说就是互斥相加，同时相乘，从一副牌里抽出人头牌或者抽出一张A的概率也就是12/52+4/52，换句话说是大概31%

法则#7：1－“是”=“不是”

这是一个更容易理解的法则。假如某件事发生的几率是10%，那它不发生的几率就是90%了。为什么这点这么有用呢？因为往往我们是很难算出某件事发生的几率的，但却很容易就能算出它不发生的几率了。

我们来看看Chevalier的第二个游戏。要找出双6在24次投骰中出现至少一次的几率会是一场恶梦，因为你需要把太多不同可能性的事件加在一起了（1次双6，23次非双6；2次双6，22次非双6；……）。另一方面，那如果我们换另一个不同的问题那又会怎么样呢：投出24次双骰，且一次都得不到双6的几率是多少呢？如今这就变成是一个“且”的问题了，并且这些事件都是不互斥的，因此我们可以用法则#6来得到答案！不过我们首先得用两次法则#7——先看我是怎么办的。

在单次投骰中出现双6的概率是1/36。因此通过法则#7，得不到双6的概率应该是1－1/36=35/36。

而后利用法则#6（乘法），在24次投骰中都得不到双6的概率是35/36的24次方，或者说是（35/36）24。你肯定不会想手算这个结果，但只要用计算器算一下就能知道答案大概是0.5086，或者说是50.86%。但这是Chevalier输掉的几率。要查出Chevalier获胜的几率我们需要再用一次法则#7，用1－0.5086=0.4914，也就是大约49.14%。如今我们就很清楚他为什么输掉这个游戏了！他获胜的几率是很难让他能说清这是一个常胜还是常输的游戏的，但当玩了很多次以后，他还是很可能会输掉。

法则#8：多个线性随机选择的总和不等于一个线性随机选择！

线性随机选择”相当于一个随机事件中所有的结果都有着同等的发生几率。投骰子就是线性随机选择的一个极好的例子。例如当你投两个骰子时，你得到7的几率是相当大的，但得到12的概率就很小了。只要你把所有的可能都枚举出来你就知道为什么了：

法则#9：投出你的骰子

我们迄今讨论过的所有可能性都是理论概率，换句话说是数学上算下来应该发生的事。但其实还有实际概率，它是对已经发生的事的衡量。例如当我投出一个6的理论概率是1/6，也就是16.67%。我可以通过投出骰子100次，记录下我得到多少次6来找出实际概率。可能当时我记下的是在100次里有20次。在这种情况下，我的实际概率就是20%了，这和理论概率差别不大。当然，我尝试的次数越多，我就会期望实际概率越接近理论概率。这在当时，继“蒙特卡罗”这个著名的赌场之后也发展出了一种众人皆知的“蒙特卡罗”分析法。Chevalier其实完全可以只通过一次又一次地投骰子，把胜的次数加起来再除以尝试的总次数来找出问题的最佳答案。

法则#10：痴迷者都喜欢炫耀（赌徒Gombauld的法则）

这个可以忽略。凑数的。