不动点定理

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

定理表述

不动点定理（fixed-point theorem）：

对应于一个定义于集合到其自身上的映射 而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变 的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存 在不动点的定理。常用的不动点定理有：

(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f： A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数 f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。

该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)： 若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ： A→A是从 A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于 任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一 个不动点。

不动点定理一般只给出解的存在性判断， 至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末 斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此， 不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存 在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存 在性等。

数学定义

设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。 其次，对A的任一元素x0，由递推关系：

定义的级数(xn)必收敛于a。

这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。 利用所谓逐次逼近法，不动点定理是证明隐式方程、常微分方程和积分方程解的存在唯一性定理的基础。

定理启示

建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献。这个定理表明：在二维闭圆盘上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的。他把这一定理推广到高维球面。尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点。在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。

康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的。1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性。在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数。实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用。例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性。

这些都是不动点定理的一种延伸。

经济学应

可用于严格证明某方程式系统的解的存在性的定理。现代数学——拓扑学、集合论中的一个定理，由荷兰数学家布劳威尔(Brouwer，Luitzen Egbertus Jan， 1881—1966)、日本数学家角谷(生卒年不详)分别于1912年和1941年提出。含义大致可描述为：在一定条件下，如果一个映射f 把集合X中的每一个点x变换到集合f(x)，那么存在着不动点x，该不动点是包含于其映象f(x)中的点x∈f(x)。在经济学中，常将一个经济系统进行模型化，也就是将一个经济系统描述为一个联立方程式系统。方程式系统的解表示该经济系统所处的特定均衡状态。

但在传统的经济数学方法中，一个方程式系统的解是否存在，是根据方程式的个数与内生变量的个数是否相等来判断的。如果两者相等，那么解就存在。这是一种凭经验得出的不严格的判断方法。而运用不动点定理，可以严格地证明一个方程式系统解的存在性。

美国经济学家阿罗(Arrow，Kenneth Joseph，1921—　)和美籍法国经济学家德布鲁(Debreu， Gerard，1921—　)运用不动点定理证明了瓦尔拉斯一般均衡模型中均衡解的存在性，对一般均衡分析作出了贡献。他们运用不动点定理对瓦尔拉斯均衡所作的严格分析，被称为“阿罗-德布鲁一般均衡分析”。阿罗和德布鲁分别获得1972年度、1983年度诺贝尔经济学奖。