埃洛等级分系统（Elo rating system）

埃洛等级分系统是指由匈牙利裔美国物理学家阿帕德·埃洛创建的一个衡量各类对弈活动水平的评价方法，是当今对弈水平评估的公认的权威方法。被广泛用于国际象棋、围棋、足球、篮球、电子竞技等运动。

该系统基于统计学的一个评估棋手水平的方法。美国国际象棋协会在1960年首先使用这种计分方法。由于它比先前的方法更公平客观，这种方法很快流行开来。1970年国际棋联正式开始使用这个系统。

系统模型原先采用正态分布。但是实践显明棋手的表现并非呈正态分布，所以改进后的埃洛排名系统通常使用的是逻辑斯谛分布。

一、ELO Rating System模型思路

1.假设每个玩家每盘游戏中的表现是一个正态分布的随机变量，尽管选手在不同的游戏中发挥可能差异很大，但每位选手在一段时间内表现的平均值变化很小，ELO系统用随机变量的平均值来代表选手的真正水平。

2.ELO系统用胜平负来评价选手在某一场游戏中的表现，赢就代表这场发挥比对手好，反之就是不好，因此会用赢加分，输扣分，平不得分来进行评分。

二、积分计算公式

Ra：A玩家当前的Rating

Rb：B玩家当前的Rating

Sa：实际胜负值，胜=1，平=0.5，负=0

Ea：预期A选手的胜负值，Ea=1/(1+10^[(Rb-Ra)/400])

Eb：预期B选手的胜负值，Eb=1/(1+10^[(Ra-Rb)/400])

因为E值也为预估，则Ea+ Eb=1

R’a=Ra+K（Sa-Ea）

R’a：A玩家进行了一场比赛之后的Rating

K：K值是一个极限值，代表理论上最多可以赢一个玩家的得分和失分，K/2就是相同rating的玩家其中一方胜利后所得的分数。

国际象棋大师赛中，K=16；在大部分的游戏规则中，K=32。通常水平越高的比赛中其K值越小，这样做是为了避免少数的几场比赛就能改变高端顶尖玩家的排名。

三、实例说明

若当前A玩家rating为1500，B玩家rating为1600

预估A玩家的胜负值Ea = 1/(1+10^[（1600-1500）/400]）≈0.36

预估B玩家的胜负值Eb = 1-Ea = 1-0.36 = 0.64

假设A玩家获胜，实际胜负值为Sa = 1

A玩家最终得分为 R'a = 1500 + 32*(1-0.36) = 1500+20.5 = 1520，A玩家赢20分，B玩家输20分。

假设B玩家获胜，实际胜负值为Sa = 1

B队最终得分为 R'b = 1600 + 32*(1-0.64) = 1600 + 11.52 = 1612，B玩家赢12分，A玩家输12分。

PS：^符号代表次方运算。

四、天梯系统目的

1.保护新手不被有经验的玩家虐，让高手局中没有新手。

2.创造竞技和公平的游戏对局，使玩家的游戏乐趣最大化。

3.无需等待太久就能找到对手进入游戏。

五、具体实例

11对战平台的天梯实例。

下面的公式很好的说明了天梯积分的计算方法，而Si的计算则是取的ELO算法，虽然11的天梯还是存在Bug，但是不得不承认确实是很棒的设计。

从天梯积分曲线图可以看出，虽然曲线有波动，但是基本上能够代表这一段时间，玩家的技术水平区间，进而匹配战力接近的玩家，让玩家享受竞技的乐趣，而不是一味的虐菜，最后独孤求败进而流失。