费马帕斯卡系统

** 什么是费马帕斯卡系统**

假设有两个赌徒，每一盘里，他俩的赢的机会相等。有一天，他俩各拿出相同金额的钱作为赌注，约定谁先赢到某个（假设是10）盘数，赌注就全部归谁。不料，这时发生了某事，他们必须结束赌局并离开。此时，两个人谁也没赢到10盘，那么这个赌注的钱应该怎么分呢？

当然，此时赢得多的人应该相应地拿的赌注多。可是，多少才算是公平呢？

当时有两种说法：

1、有人提出用按比例来分赌注。比如，当时比分是8 - 5，那么一个拿赌注的8/13,另一个人则拿赌注的5/13。

2、另外有人对上面的办法提出质疑，如果赌徒要离开时只玩了一盘，比分是1 - 0，那么赢了1盘的人就要拿走全部赌注了啊。很明显是不公平的啊！反驳的同时，这个人也提出了自己的办法，那就是以两人比分的差距和游戏的总盘数的比率来分配赌注。这个办法也不太靠谱，如果是比分65 - 55和 99 - 89的话，分配方式是一样的。可是，65 - 55 的情况中，如果继续玩下去，翻盘的几率很大啊。还是不公平。

后来，费马和帕斯卡通过书信的形式讨论这个问题。他们一致认为，不应该按已经完成的赌局盘数来计算赌注分配，而是应该把目光放在赌局中断时，后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的 7 - 5 和总数20盘的 17 - 15，领先的赌徒最终的赢的机会是一样的。所以，已经完成的盘数不重要，重要的是赌徒们如果要最终赢得赌局，需要去完成的盘数。

** 费马的计算**

费马假设：费马和帕斯卡一起玩一个抛硬币的游戏，每一次「头」（head）和「尾」（tail）的机会一样大。两人各出50法郎，凑成一共100法郎做赌注。两人谁先赢10盘，谁就拿走100法郎。抛出的硬币，如果是「头」，就是费马赢，记为「h」；如果是「尾」，就是帕斯卡赢，记为「t」。

当赌局进行到 8 - 7、费马领先的时候，这个赌局因为一些突发状况，必须结束，且两人都要离开。100法郎该怎么分，才算公平呢？

费马认为，假设两个赌徒各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注，那么赌局还需要进行 r + s - 1 局就能得出胜负。这样的话，每局都有2种可能的结果 —— 费马赢或帕斯卡赢，那就还需要2+3-1=4局才能得出胜负，进而这4局就有2的（2+3-1）次方，也就是16种不同的结果：

费马赢的情况有11种，那么概率是11/16=68.75%。相应地，最终离开时，费马应该拿100法郎 X 68.75%=68.75法郎。

帕斯卡三角

帕斯卡发现，可以用他发现的「帕斯卡三角」来解「赌注分配问题」。

这个三角形的「塔尖」是一个「1」，这一行称为「0」行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1，每行里的数字是它上面两个数字之和。

我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里。8 - 7，刚才说了，还需要4盘才能决出胜负。好，我们看上图中的第4行，「1,4,6,4,1」。

这里有一点需要注意的是：费马现在赢了8局，再赢2局就可以赢得整个赌局。那么前两个数字「1,4」就代表了帕斯卡赢的概率；同样的，帕斯卡再赢3局就能赢，那么「6,4,1」则代表了费马赢的概率。

前面算过，最后4盘有16种不同的结果，正好是「1+4+6+4+1=16」。费马赢的概率：6+4+1=11，11/16=68.75%。这个结果和费马的一致。

帕斯卡的三角计算法，好处是省事儿。你想想，如果每次计算都像费马那样，把可能的结果一一列出，16个结果还好说，要是数字再大些呢？

小结

费马帕斯卡的故事是概率论的起源，在他们互相通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。