选择公理（Axiom of Choice）

选择公理（Axiom of Choice，缩写AC）是数学中的一条集合论公理，以下用一个较简单的描述： 选择公理 设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

定义

设Λ为集，对λ∈Λ有Mλ，定义∏λ∈ΛMλ为集Mλ的积，为φ:Λ→∪λ∈ΛMλ满足φ(λ)∈Mλ，即为集族(mλ|λ∈Λ,mλ∈Mλ)。

则选择公理为若对所有λ∈Λ，Mλ≠∅，则∏λ∈ΛMλ≠∅。即若每个Mλ都存在一个元，就存在一个函数选择每个Mλ中的一个元。

等价定义

首先定义几个概念：

1）集族：指由非空集合组成的集合。

2）选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族X中的集合s，f(s)是s的一个元素。

那么，选择公理表示 ：对于所有的集族，均存在选择函数。

公理介绍

选择公理声明，对所有非空指标集族 ，总存在一个索引族 ，对每一个 ，均有 。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。

非正式地说，选择公理声明：给定一些盒子（可以是无限个），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”（当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征）这两种情况下。再举一个例子，假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而，假设有无限双袜子（假设每双袜子都没有可区分的特征），在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。

在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。